Calculo Diferencial

Juan Isaias Cañedo Huerta               No. control 15260694

UNIDAD 2 FUNCIONES

2.1 CONCEPTO DE VARIABLE, FUNCIÓN, CODOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN.

Concepto de variable.

Una variable es la expresión simbólica representativa de un elemento no especificado comprendido en un conjunto. Este conjunto constituido por todos los  elementos o variables, que pueden sustituirse unas a otras es el universo de variables. Se llaman así porque varían, y esa variación es observable y medible. Existe la variable independiente (x) y la variable dependiente (y). Se le llama variable dependiente porque depende de otra variable (variable independiente).

Concepto de función.

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado condominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del condominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).  En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”. Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.

DOMINIO.

El dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función   es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota   o bien  . En   se denomina dominio a un conjunto conexo, abierto y cuyo interior no sea vacío.

CODOMINIO.

El condominio también llamado Intervalo o Conjunto final se le define como el grupo de resultados posibles de f(x) donde X puede variar en cualquier momento.

¿La raíz cuadrada es una función?

Si tú dices que el codominio (las salidas posibles) es el conjunto de los números reales, ¡entonces la raíz cuadrada no es una función! ... ¿te sorprende?

La razón es que podría haber dos respuestas para una entrada, por ejemplo f(9) = 3 o -3

Una función debe ser univaluada. No puede dar 2 resultados para el mismo valor de entrada. ¡Por ejemplo "f(2) = 7 o 9" no está bien!

Pero se puede arreglar simplemente limitando el codominio a los números reales no negativos.

√De hecho, el símbolo radical (como en √x) siempre significa la raíz cuadrada positiva (la principal), así que √x es una función porque su codominio es correcto.

Así que el codominio que elijas puede afectar el que algo sea o no una función.

Ejemplo

Para una función

definida como una función cuadrática:

 ,

el condominio de  es , pero  siempre toma un valor positivo. Por lo tanto, la imagen de  es el conjunto ; por ejemplo, el intervalo [0,∞).

RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN.

Es el conjunto formado por las imágenes. Son los valores que toma la función "y" variable dependiente, por eso se denomina f(x), su valor depende del valor que le demos a "x". Gráficamente lo miramos en el eje Y de ordenadas, leyendo de abajo a arriba.

 2.2 FUNCIÓN INYECTIVA, SUPRAYECTIVA Y BIYECTIVA

Función inyectiva

Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x = y.

Una función  f: " Xà Y", es inyectiva si a cada valor del conjunto "X" (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto "Y "(imagen) de "f", es decir a cada elemento del conjunto "Y" le corresponde un solo valor de "X"  tal que, en el conjunto "X" no puede haber dos o mas elementos que tengan la misma imagen.

Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes a la función, las y no se repiten. Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no.

Función suprayectiva

Una función f (de un conjunto A a otro B) es suprayectiva si para cada y en B, existe por lo menos un x en A que cumple f(x) = y, en otras palabras f es suprayectiva si y sólo si f(A) = B.

Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento del dominio por lo menos.

Otras formas de definirse:

Una función f:  X à Y es sobreyectiva, si esta aplicado sobre todo el condominio, es decir , cuando a cada elemento  de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".

Función biyectiva

 Una función f (del conjunto A al B) es biyectiva si, para cada y en B, hay exactamente un x en A que cumple que f(x) = y

Alternativamente, f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.

Otra forma de definirse:

Una función f: X a Y, es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva(suprayectiva), es decir si todos los elementos  del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada y a cada elemento del conjunto  de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida. 

Para que una función sea biyectiva se requiere  que sean al mismo tiempo inyectiva y suprayectiva.

 Ejemplos:

2.3 FUNCIÓN REAL DE VARIABLE Y SU REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Cualquier función cuyo rango de conjunto incluya sólo números reales es llamada una función valorada real o simplemente una función real.

Especialmente estudiada bajo el cálculo, una función valorada real se centra en las integrales, las desigualdades en general y sus derivadas.

Una función racional, por ejemplo, cae bajo la categoría de una función valorada real. Al igual que en cualquier otra función, también una función real pueden realizársele las operaciones básicas, tales como suma, resta, multiplicación, etc.

Aunque el denominador no sea igual a cero, la operación de división se puede realizar en tales funciones.

El resultado de estas operaciones es otra función, que puede no ser una función real en algunos casos.

Gráfica de una función: La gráfica de una función está formada por todos los puntos (x,f(x), donde x pertenece al dominio de f. En la figura 1, puede observarse que x es la distancia dirigida desde el eje y, y f(x)es la distancia dirigida desde el eje x.

Una recta vertical puede cortar la gráfica de una función de x a lo máximo una vez. Esta observación proporciona un criterio visual adecuado (llamado criterio de la recta vertical) para funciones de x.

Por último les dejo las 8 gráficas de funciones básicas que uno debe conocer muy bien.

2.4 FUNCIONES ALGEBRAICAS: FUNCIÓN POLINOMINAL, RACIONAL E IRRACIONAL.

Muchos científicos y matemáticos habían llegado a la misma conclusión, la cual explica quede un gran numero de sucesos o fenómenos que ocurren en nuestra vida cotidiana podían representarse mediante modelos matemáticos, esto modelos son fácilmente construidos por las denominadas funciones elementales.

Estas funciones se dividen en tres categorías.

• Funciones algebraicas (polinómicas, radicales, racionales).

• Funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente).

• Funciones exponenciales y logarítmicas.

Una función de la forma f(x) = a, donde “a” es una constante (número real), se denomina función constante. Su gráfica es una recta horizontal. La función f(x) = x se denomina función identidad. Su gráfica es una recta que pasa por el origen con pendiente igual a 1. Con base a estas funciones sencillas, podemos construir otras muchas funciones importantes.

Funciones polinominales

Cualquier función que pueda obtenerse a partir de las funciones constantes y de la función identidad por medio del uso de las operaciones  de suma, diferencia y multiplicación se denomina función polinomial. Esto equivale a decir que “f” , es una función polinomial con la forma:

Ejemplos de funciones polinominales:

Funciones racionales

Del mismo modo que un número racional puede escribirse como el cociente de dos enteros, una función f es racional si tiene la forma:

Donde p(x) y q(x) son polinomios. El dominio de estas funciones excluye los ceros del polinomio de q(x). La gráfica de una función racional puede tener asíntotas verticales. Las gráficas de las funciones racionales y de los polinomios tienen varias características en común. Por ejemplo, una función racional solo tiene un número finito de raíces, pues f(x) en la  ecuación.

Aquí tenemos un ejemplo de como encontrar dominio de una función racional.

Funciones irracionales

Del mismo modo que un número irracional no puede escribirse como el cociente de dos enteros, una función f es irracional si tiene la forma.

El dominio de estas funciones excluye los valores donde los valores de la raíz son válidos, dependiendo del valor de “n”. Si “n” es par, el radical está definido para g(x)≥ 0; así que a los efectos de calcular el dominio de f(x) que contiene un radical, habrá que imponer la condición anterior al conjunto de la expresión f(x).

Se trata de una función en que el índice de la raíz es 2. Por tanto, su dominio es el conjunto de soluciones de la inecuación x≥0. Así tenemos Dom(f)=[0,+∞) La imagen de la función raíz cuadrada es, como en el caso del dominio, el conjunto de los reales mayores o igual que cero, Im(f)=[0,+∞).

2.5 FUNCIONES TRASCENDENTES: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y FUNCIONES EXPONENCIALES.

Funciones trascendentes.

El conjunto de funciones trascendentes incluye la trigonométrica, la trigonométrica inversa, exponencial y logarítmica.

En las funciones trascendentes la variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

Todas las funciones que se se consideren como no algebraicas son denominadas trascendentes. Mientras tanto las funciones exponenciales, trigonométricas, logarítmicas e hiperbólicas, así como sus inversas, son funciones trascendentes.

Funciones trigonométricas.

Cuando se usa la función f(x)= sin x, se supone que sin x significa el seno del angulo cuya medida en radianes es x. Los gráficos de las funciones seno y coseno son como las que se ilustran.

Una función trigonométrica es importante por el hecho de tener un patrón y ser repetitiva, esto le da la capacidad al que la utiliza de poder interpretar ciertos actos físicos que requieren de cierta repetitividad para funcionar.

Las funciones trigonométricas mas utilizadas son: seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante.

Basándonos en lo anterior te dejamos la siguiente tabla que muestra algunos datos importantes de las funciones trigonométricas mas comunes:

Gráficas de las funciones seno, coseno y tangente.

Ejemplos de tabulación y gráficas de coseno y seno.

Funciones exponenciales

(x)= a^x

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.

Aquí podemos ver la gráfica de una función exponencial.

Ejemplos

2.6 FUNCIÓN DEFINIDA POR MAS DE UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA, FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO.

Función a trozos es un nombre más general para una función que puede ser definida con la ayuda de múltiples funciones de correspondencia.

Una función f: X → Y es llamada una función a trozos si puede ser definida con la ayuda de varias funciones lineales.

Podemos decir que tal función está definida en una serie de intervalos múltiples.

La notación general para definir una función a trozos es la siguiente,

Como se muestra en el ejemplo, punto y coma ó comas se utilizan al final de la columna. Sin embargo, algunos los autores prefieren usar palabras como “si” o “para” en la columna derecha, y la palabra “ de lo contrario” también se puede utilizar para indicar el caso por defecto. La gráfica de esta función también se divide en trozos, dependiendo del número de ecuaciones que se utilicen para definir la función. Tal función es llamada de esta forma porque la definición de esta función cambia dependiendo del valor de la variable de entrada.

Es claro que el gráfico anterior contiene dos piezas separadas para indicar dos ecuaciones diferentes, por lo tanto representa la función como un todo. Un caso especial de la función a trozos es la función piso que tiene un número infinito de piezas. El valor absoluto de cualquier número es su distancia absoluta del cero, nunca es negativo dado que la distancia nunca es negativa.

Como resolverla:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

1. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

1. Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde a x es negativa se cambia el signo de la función.

1. Representamos la función resultante.

Ejemplos:

2.7 OPERACIONES CON FUNCIONES: CONDICIÓN, MULTIPLICACIÓN, COMPOSICIÓN.

Condición

Sean f y g dos funciones de variable real definidas por un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g.

Ejemplo:

Considere las dos funciones siguientes,

 g(x) = x2 + 2 y,

 f(x) = 4x – 1

Las dos funciones se pueden sumar como (g + f) (x) = (x2 + 2) + (4x – 1) = x2 + 4x + 1

Multiplicación

Sean f y g dos funciones de variable real definidas por un mismo intervalo. Se llama multiplicación o producto de una función de f y g, y se define por:

[f(x)] [g(x)]

Ejemplo:

Tomemos como ejemplo la multiplicación de dos funciones,

g(x) = 3 √x y

f(x) = √x 

entonces, (g . f) (x) = (3 √x) . (√x)

Composición

Dos funciones se juntan para producir un resultado, por ejemplo: f actué sobre 'x' para producir f(x) y luego g actué sobre f(x) o también llamada función composición que se representa g(f(x)).

Ejemplo

g(x) = 2x + 3 

f(x) = -x2 + 5

 g(f(x)) = g(-x2 + 5) 

= 2(-x2 + 5) + 3

 = −2×2 + 10 + 3 

= −2×2 + 13

2.8 FUNCIÓN INVERSA, LOGARÍTMICA Y TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS.

Función inversa

Sea una función f de dominio Dom (f); si f es inyectiva, entonces f tiene función inversa, que expresamos por f-1 y que esta definida por:

f-1: Im (f)-----------> Dom (f)

        y---------------> f-1 (y) = x, con f(x)=y

Observa que para la funcion inversa se cumple que         Dom (f-1)=Im (f) = Dom (f)

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f⁻¹ que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f⁻¹(b) = a.

Veamos un ejemplo a partir de la función f(x) = x + 4

Podemos observar que:

El dominio de f−1 es el recorrido de f.

El recorrido de f−1 es el dominio de f.

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.

(f o f−1) (x) = (f−1 o f) (x) = x

Ejemplos

Función logarítmica

Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas.  Como la notación f^-1  se utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza otra notación para este tipo de inversas.  Sif(x) = b^x, en lugar de usar la notación f^-1(x), se escribe log_b (x) para la inversa de la función con base b. Leemos la notación log_b(x) como el  “logaritmo de x con base b”, y llamamos a la expresión log_b(x) unlogaritmo. 

Definición:  El logaritmo de Un número y es el exponente al cual hay que elevar la base  b  para obtener  a  y.   Esto es,  si  b > 0  y   b  es  diferente  de  cero,   entonces

log_b y = x  si y sólo si  y = b^x.

Nota:  La notación log_b y = x se lee “el logaritmo de y en la base b es x”.

Ejemplos:

1)  ¿A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25?  Al exponente 2, ya que 5² = 25.  Decimos que “el logaritmo  de 25 en la base 5 es 2”.   Simbólicamente lo expresamos de la forma log₅ 25 = 2.   De  manera que,  log₅ 25 = 2  es  equivalente a  5² = 25.  (Observa que un logaritmo es un exponente.)

2)  También podemos decir que 2³ = 8 es equivalente a log₂ 8 = 3.

Gráficas de funciones logarítmicas

Las funciones y = b^x  y  y = log_b x  para b>0  y  b diferente de uno son funciones inversas.  Así que la gráfica de  y = log_b x es una reflexión sobre la recta y = x de la gráfica  de  y = b^x.  La gráfica de y = b^x tiene como asíntota horizontal al eje de x  mientras  que la gráfica de  y = log_b x tiene al eje de y como asíntota vertical.

Ejemplo:

Las funciones y = 2^x   y y = log₂ x son funciones inversas una de la otra, por tanto, la gráfica de y = log₂ x es una reflexión de la gráfica de y = 2^x sobre la recta y = x.  El dominio de y = 2^x es el conjunto de los números reales y el recorrido es todos los números reales mayores que cero.  El dominio de y = log₂ x es el conjunto de los números reales mayores que cero y el recorrido el conjunto de los números reales.

Función trigonométrica inversa

Las funciones trigonométricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente).

Las razones trigonométricas no son funciones biyectivas (1-a-1), por lo que no son invertibles. Para que lo sean, es necesario restringir su dominio y así poder hallar la función inversa.

Ejemplos de funciones trigonométricas inversas.

Arcoseno

El arcoseno es la función inversa del seno. Es decir:

Gráfica de arcoseno

Es la función inversa del angulo seno.

Arcocoseno

El arcocoseno es la función inversa del coseno. Es decir:

Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas, su composición es la identidad.

Gráfica de arcocoseno

Es la función inversa del coseno del angulo

Arcotangente

La arcotangente es la función inversa de la tangente. Es decir:

Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversa.

Es la función inversa de la tangente del angulo.

2.9 FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NÚMEROS NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NÚMEROS REALES: LAS SUCESIONES INFINITAS.

Considere un conjunto N, una función f: X  Y de la secuencia de números de N esta es conocida como función de sucesiones. El dominio de tales funciones se limita sólo a los números naturales. Las convenciones utilizadas para referirse a tales secuencias son,

La notación convenida para denotar una función de este tipo sería, 

Una secuencia infinita puede ser definida como un conjunto ordenado o una lista de elementos distintos que pueden ser formados como pares teniendo correspondencia uno a uno respecto al conjunto entero positivo. Los elementos son por lo general números. Un conjunto de números naturales es un buen ejemplo de sucesión infinita, N = {0, 1, 2, 3, 4…}.

La secuencia infinita forma una parte importante de los estudios de la ingeniería y la física moderna. Una secuencia infinita puede estar creciendo, decreciendo, o ser de origen monótona. Una sucesión creciente es aquella donde todos los elementos subsecuentes de la secuencia son mayores que el elemento que estaba ocurriendo antes que ellos en la secuencia, esto es an+1 > an para todos los valores de n.

Una secuencia decreciente infinita es opuesta a la sucesión creciente infinita lo que significa que en el caso de una secuencia decreciente infinita el elemento subsecuente de la secuencia es más pequeño que el elemento que estaba ocurriendo antes que este en la secuencia, esto es un an+1 < an para todos los valores de n.

Ejemplos y ejercicio resuelto:

2.10 FUNCIÓN IMPLÍCITA

Una función y(x) se llama implícita cuando está definida de la forma F(x, y) = 0 en lugar de la habitual.

Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región de  entre las variables x e y:

La ecuación polinómica, conteniendo los términos tanto de x e y son muy difíciles de resolver. Si la ecuación no se resuelve para y, entonces y se llama una función implícita en términos de x, y tal ecuación se denomina función implícita. Una función implícita es generalmente de la forma;

Una función implícita también se conoce como un conjunto de nivel de cualquier función en términos de dos variables. Fuera de esas dos variables, una de ellas se puede determinar con la ayuda de otra variable. Pero no existe ninguna fórmula específica para determinar una variable en términos de otra variable.

Las funciones implícitas y las funciones explícitas están relacionadas entre sí con la ayuda del teorema de la función implícita. Según este teorema, si la función implícita satisface algunas de las condiciones, aunque levemente, sobre sus derivadas parciales entonces es posible resolver esta función para determinar el valor de y, al menos para un rango pequeño.

Si nos fijamos en la gráfica de una función implícita, nos encontraríamos con que su gráfica se superpone con la gráfica de la función f(x) = y.

Ejemplos:

Ejemplos.

Veamos el ejemplo dado a continuación,

Aquí x es una función implícita en términos de y, también y es una función implícita en términos de x. Para resolver la ecuación para la variable y, la ecuación se convertiría,

Bibliografía:

• http://acreditacion.itmazatlan.edu.mx/servicios-institucionales-1
• http://mitecnologico.com/igestion/Main/FuncionRealDeVariableRealYSuRepresentacionGr%E1fica
• http://ingenieriaelectronica.org/funciones-algebraicas-funcion-polinomial-racional-e-irracional/
• http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_4eso_B_funciones2/impresos/quincena9.pdf
• http://www.ditutor.com/funciones/funcion_trascendente.html
• http://personales.unican.es/gonzaleof/Sociales_1/funcion2.pdf
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• http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/Int_definida/Notas%20de%20Sucesiones.pdf
• http://www.vitutor.com/al/trigo/trigo_3.html